Das Wasserstoffatom
Für den speziellen Fall des Coulomb-Potentials lassen sich die Lösungen
der dreidimensionalen, zeitunabhängigen Schrödingergleichung
 bestimmen,
wenn man die Gleichung in Kugelkoordinaten transformiert. Dann sind die
Lösungsfunktionen von der Form eines Produktes  .
Radialer Anteil und Winkelanteil können nun berechnet werden.
Die ersten sechs normierten Radialkomponenten Rn,l(r) der
Gesamtwellenfunktion des Wasserstoffatoms lauten:
mit a0 = 0,53·10-10m (Bohr'scher Radius für
n=1)
Diese Radialfunktionen sind lediglich von r abhängig. Ihre Form
wird durch die Hauptquantenzahl n und die Nebenquantenzahl l bestimmt.
Für den Energiezustand ist jedoch nur die Hauptquantenzahl n von Bedeutung.
Für die Wellenfunktion selbst muß noch der von den
Raumwinkeln abhängige Term anmultipliziert werden. So lautet z.B.
die Wellenfunktion für den Grundzustand:
 mit 
In diesem Fall ist 
konstant. Die Zustände mit l und m=0 besitzen also kugelsymmetrische
Wellenfunktionen und somit auch kugelsymmetrische Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
für das Elektron.
Der Term der Kugelflächenfunktionen
ist von der Nebenquantenzahl l und der Magnetquantenzahl m abhängig.
Für höhere Beträge von l und m werden die Terme wesentlich
aufwendiger. Als Beispiel sei noch die Kugelflächenfunktion for l=2
und m=+/-1angegeben:
Die Wellenfunktion lautet dann:
Durch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktionen wird die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Elektrons im Atom angegeben. Trägt man 
für einen beliebigen Wert p zwischen 0 und 1 graphisch auf, so ergeben
sich die bekannten Orbitaldarstellungen des Wasserstoffs.
Interessant ist aber auch die Betrachtung des Radialanteils alleine.
Die Wahrscheinlichkeit  ,
das Elektron in der Kugelschale 
zu finden, ist aus radialsymmetrischen Gründen  .
Wir sehen, daß in den zu l = n-1 gehörigen Zuständen das
Maximum gerade mit den entsprechenden Bohrschen Radien zusammenfällt.
Dies ist eine nachträgliche Bestätigung der von Bohr in genialer
Weise postulierten Quantisierungsbedingung für die Bewegung des Elektrons.
Radialfunktionen und radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für das
Wasserstoffatom
Die linken Diagramme stellen Rn,l(r) dar, die rechten Wn,l(r).
In allen Diagrammen ist nach rechts der Radius in Å aufgetragen (1Å
= 10-10m).
n=1, l=0
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n=2, l=0
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n=2, l=1
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n=3, l=0
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n=3, l=1
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n=3, l=2
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Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiedener Zustände
des H-Atoms
1s-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms
(n = 1; l = 0) |
2s-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms
(n = 2; l = 0) |
2p-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms
(n = 2; l = 1; m = -1,0,+1) |
3s-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms
(n = 3; l = 0) |
3p-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms
(n = 3; l = 1; m = -1,0,+1) |
3ds-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms
(n = 3; l = 2; m = 0) |
3dp-Wellenfunktion eines wasserstoffähnlichen Atoms.
(n = 3; l = 1; m = -1,+1) |
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Alle gezeigten Verteilungen bis auf die letzte
sind rotationssysmmetrisch um die senkrechte Achse auf dem Bild. Diese
letzte hat zweizählige Symmetrie um die Mittelachse der Keulen. Eine
räumliche Darstellung findet sich hier oder
bei Klick auf eines der Bilder. |
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