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Lösung der Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung 

Lösungsansatz nach d'Alembert:

Beachte: k komplex !!!!
Ableitungen:
einsetzen:
Da  für alle t kann dividiert werden:
Es ergibt sich die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung:
 Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichung erhält man zwei Lösungen. Da wir uns in C bewegen, erhalten wir auch tatsächlich immer beide Lösungen:
bzw. 

Diskussion:

Ausführliche Diskussion der oszillierenden Lösung:

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine Linearkombination aller möglichen Lösungen:

Zusammenfassen:
da  wird eine komplexe Einheit i aus der Wurzel gezogen:

mit  folgt:
Wobei  den Dämpfungsfaktor darstellt!


Benutzt man die Eulersche Beziehung, so erhält man:

Setzen wir den Imaginärteil = 0 !
Dann folgt c1 - c2 = 0 und es bleibt der Realteil übrig:

Betrachten wir nun den Zeitpunkt t = 0. Durch Einsetzen ergibt sich:

Damit muß c1 + c2 = 1 sein, und wegen c1 - c2 = 0 folgt dann endgültig:  c1 = c2 = 1/2
 

Somit haben wir die Lösung für den oszillierenden Fall berechnet:

mit 

 
 

Strom und Spannung im Schwingkreis (beim oszillierenden Fall):

Da am Kondensator Q = C · U ist, folgt für die Spannung:
 mit  folgt für den Strom

 durch Ausklammern:
mit 
Hier stellt  wieder die Dämpfung dar; Der Rest eine Schwingung mit von R,L und C abhängiger Amplitude und Phase!
 


Bemerkung: zur Eulerschen Beziehung

Diese Identität ist Ergebnis der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Sie ist ein Spezialfall der allgemeinen Beziehung .
Diese folgt aus der Reihenentwicklung der drei Funktionen: ,  und  für beliebige .


 
 

Graphische Darstellung der einzelnen Lösungen:

Bemerkung: Die Diagramme sind keine gemessenen Kurven, sondern graphische Darstellungen der analytischen Lösungen mit den hypothetischen Zahlenwerten L=8H, C=2F und Q0=2As.

   Das Gymnasium: Friedrich-Koenig-Gymnasium, Würzburg Zurück: Physikseite