Lösung der Differentialgleichung der freien gedämpften
Schwingung 
Lösungsansatz nach d'Alembert:
Beachte: k komplex !!!!
Ableitungen:
einsetzen:
Da  für
alle t kann dividiert werden:
Es ergibt sich die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung:
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichung erhält
man zwei Lösungen. Da wir uns in C bewegen, erhalten wir auch tatsächlich
immer beide Lösungen:
 bzw. 
Diskussion:
Ausführliche Diskussion der oszillierenden Lösung:
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine Linearkombination
aller möglichen Lösungen:
Zusammenfassen:
da  wird
eine komplexe Einheit i aus der Wurzel gezogen:
mit  folgt:
Wobei 
den Dämpfungsfaktor darstellt!
Benutzt man die Eulersche
Beziehung ,
so erhält man:
Setzen wir den Imaginärteil = 0 !
Dann folgt c1 - c2 = 0 und es bleibt der Realteil
übrig:
Betrachten wir nun den Zeitpunkt t = 0. Durch Einsetzen ergibt sich:
Damit muß c1 + c2 = 1 sein, und wegen c1
- c2 = 0 folgt dann endgültig: c1 = c2
= 1/2
Somit haben wir die Lösung für den oszillierenden Fall berechnet:
mit
Strom und Spannung im Schwingkreis (beim oszillierenden Fall):
Da am Kondensator Q = C · U ist, folgt für die Spannung:
mit 
folgt für den Strom
durch Ausklammern:
mit
Bemerkung: zur Eulerschen Beziehung
Diese Identität ist Ergebnis der Theorie der Funktionen einer komplexen
Veränderlichen. Sie ist ein Spezialfall der allgemeinen Beziehung  .
Diese folgt aus der Reihenentwicklung der drei Funktionen:  , 
und  für
beliebige  .
Graphische Darstellung der einzelnen Lösungen:
Bemerkung: Die Diagramme sind keine gemessenen Kurven, sondern graphische
Darstellungen der analytischen Lösungen mit den hypothetischen Zahlenwerten
L=8H, C=2F und Q0=2As.
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