Erstmals wurden trigonometrische Reihen der Form zur Beschreibung periodischer Vorgänge in der Astronomie und zur Behandlung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite verwendet.

Schon D. Bernoulli (1700-1782) vertrat die Auffassung, daß sich jede Schwingungsform einer Saite als Überlagerung einer Grundschwingung mit der Kreisfrequenz ωund Oberschwingungen mit den Frequenz-Vielfachen n·ω, n=2,3,4,... darstellen lasse.

J. Fourier

1807 benutzte der französische Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830) diese, später nach ihm benannten trigonometrischen Reihen zur Darstellung von Lösungen der Wärmeleitungsgleichung. Für einen Stab der Länge l mit der Temperaturleitfähigkeit k, dessen Enden auf der Temperatur Null gehalten werden, fand Fourier für die Temperatur u(x,t) in x aus [0,l] zur Zeit t ³ 0 die folgende Reihenlösung

D. Bernoulli

P.L. Dirichlet

Seine Theorie der Wärmeausbreitung stieß zunächst noch auf Vorbehalte und Bedenken, da Fourier noch sehr anschaulich argumentierte. Erst die Arbeiten des Mathematikers P. Lejeune Dirichlet (1805-1859) klärten die mathematischen Grundbegriffe für die Aussagen Fouriers, welche wichtige Impulse für viele Teilbereiche der Mathematik lieferten. Die Fragestellungen der Fourieranalysis, d.h., der Darstellung von Funktionen durch harmonische Schwingungen, leiteten Dirichlet zum modernen Funktionsbegriff, standen am Beginn der Mengenlehre G. Cantors (1845-1918) und waren Ausgangspunkt der Integrationstheorie von B. Riemann (1826-1866) und H. Lebesgue (1875-1941). Auch heute noch erhalten Funktionalanalysis und die moderne numerische Mathematik für ihre abstrakten Begriffe starke Anregungen aus der Theorie der Fourierreihen. Dies alles machte den Fourierschen Gedanken zu einem der wirkungsvollsten mathematischen Hilfsmittel der Ingenieur- und Naturwissenschaften

Hauptteil

Trigonometrische Polynome

Eine Funktion f der Periode T mit Werten in R oder C der Gestalt mit N aus N, t aus R, ω₀=2p/T heißt trigonometrisches Polynom.
Für rechnerische Zwecke wird meist die komplexe Darstellung verwendet:
(Herleitung [1,S.7]) mit , , a₀= 2c₀ und i² = -1.
Die Konstanten c_n, bzw. a_n und b_n nennt man die Fourierkoeffizienten von f.
Berechnung der Fourierkoeffizienten

(Herleitung [1,S.8])

(Herleitung [1,S.8])
(Herleitung [1,S.8])

Reellwertige Polynome

Ist f(t) reellwertig, so ist die folgende Darstellung des komplexen Polynoms möglich.
(Herleitung [1,S.10])

An dieser Schreibweise kann man erkennen, daß die komplexen Fourierkoeffizienten Information über die Amplitude () als auch über die Phase () der am Aufbau von f beteiligten harmonischen Teilschwingungen enthalten. Daher wird die Größe 2c_k auch als komplexe Amplitude bezeichnet.
Eine Funktion f ist also nur durch ihre Fourierkoeffizienten festgelegt, d.h. daß alle Funktionen mit übereinstimmenden Koeffizienten identisch sind.

Fourierreihen

Durch die Grenzwertbildung erhält man aus den T-periodischen, trigonometrischen Polynomen trigonometrische Reihen. mit () Die grundlegenden Eigenschaften dieser Reihen sind in den folgenden Sätzen zusammengefaßt. Die Aussagen dieser Sätze gehen zurück auf P. L. Dirichlet (1829), L. Fejér (1904), H. Wilbraham (1848), und J. W. Gibbs (1898).
Satz von Dirichlet

Ist f auf [0,T] stückweise stetig differenzierbar, dann konvergiert die Fourierreihe S_f an jeder Stelle t gegen , an Stetigkeitsstellen t also gegen f(t). Die Fourierreihe S_f konvergiert gleichmäßig gegen f in jedem abgeschlossenen Intervall, das keine Sprungstellen von f enthält. (Beweis [1,S.76f.])

Satz von Wilbraham-Gibbs

An Unstetigkeitsstellen stückweise stetig differenzierbarer periodischer Funktionen tritt das Gibbs-Phänomen auf; alle Partialsummen S_N der Fourierreihen von Real- und Imaginärteil von f überschwingen für große N aus N den jeweiligen Sprung um rund 9%.
(Beweis und Berechnung des genauen Wertes der Abweichung siehe [1,S.20f.])

Zur Erläuterung dieser beiden Sätze wird ein Abschnitt der 2π-periodischen Sägezahnfunktion S(t) betrachtet.

, n aus Z

Diese Funktion kann auch durch die Reihe dargestellt werden.

Die obige Abbildung zeigt, daß die trigonometrische Reihe zur stückweise stetig differenzierbaren Sägezahnfunktion S(t) gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Intervall, welches keine Sprungstelle enthält konvergiert, da sie die Mittelwerteigenschaft aus dem Satz von Dirichlet für alle t erfüllt.
Zudem erkennt man trotz der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen S_N(t) von S(t), daß die S_N (t) in der unmittelbaren Umgebung der Sprungstelle wellenförmig S(t) überschwingt. Die Wellenberge rücken zwar für der Sprungstelle immer näher, jedoch konvergiert die Abweichung von der Funktion S(t) nicht gegen Null sondern ist immer um ca. 9% der Sprunghöhe S(0⁺)-S(0^-) größer. Dieses Verhalten wird das Gibbs-Phänomen genannt.
Dieses an der Sägezahnreihe gezeigte Phänomen ist charakteristisch für das Verhalten von Fourierreihen an Unstetigkeitsstellen.

Satz von Fejér

Ist f eine stetige periodische Funktion, dann konvergieren die arithmetischen Mittel
der Partialsummen S_n , n aus N₀ , von S_f für gleichmäßig gegen f.
Wenn die Fourierreihe S_f einer stückweise stetigen periodischen Funktion f an einer Stelle t₀ überhaupt konvergiert, dann konvergiert sie dort gegen . Ist außerdem f stetig bei t₀, dann ist S_f(t₀)=f(t₀).

(Beweis [1,S.78ff.])
Die Bedeutung dieses Satzes erkennt man bei erneuter Betrachtung der obigen Sägezahnreihe.

Beim Fejérschen Mitteln der Partialsummen tritt das Gibbs-Phänomen nicht mehr auf da höherfrequente Anteile schwächer gewichtet werden so daß allgemein eine Glättung der Reihe auftritt. Dies führt zwar zu einem kleineren Fehler bei der Näherung jedoch treten dabei weniger steile Flanken auf.

Spektrum periodischer Funktionen

Die Folge (c_k), (k) der Fourierkoeffizienten einer Funktion f wird als diskretes Spektrum von f bezeichnet. Für reelle Funktionen ist das Betragsspektrum, (k) symmetrisch.

Die Folge , (k) wird als Amplitudenspektrum, die Folge (), (k) das Phasenspektrum von f. Dabei ist c₀ der Gleichanteil in der Funktion f, z.B. der Gleichspannungsanteil in einer Wechselspannung f. Anhand des Spektrums kann man sehen mit welchen Amplituden und Phasen die einzelnen harmonischen Schwingungen der Kreisfrequenzen k·ω₀, (k) am Aufbau der Funktion f beteiligt sind.

Die endliche diskrete Fouriertransformation (DFT)

In der Praxis der Signalverarbeitung liegt selten das kontinuierliche Signal f(t) vor, sondern nur Werte f(t_n) zu gewissen äquidistanten Abtastzeiten . Hieraus soll dann ein trigonometrisches Polynom bestimmt werden, mit dem sich Näherungswerte f(t) auch für Zeiten und Näherungen für die Spektralwerte c_k des Signals berechnen lassen. Hierzu wird die endliche diskrete Fouriertransformation verwendet:
Die lineare Abbildung

(y₀, y₁,..., y_N-1,) ,

heißt endliche diskrete Fouriertransformation oder kurz DFT. Die Koeffizienten , k = 0,1,..., N-1, sind durch die Werte y₀ ,y₁ ,...,y_N-1 eindeutig bestimmt und heißen Fourierkoeffizienten von . (Herleitung [1,S.60f.])

Der Alias-Effekt

Harmonische Schwingungen mit Kreisfrequenzen (k+mN)ω₀können anhand der Abtastwerte f(nT/N) nicht unterschieden werden, weil alle Funktionen an allen Stellen nT/N übereinstimmen. Man nennt diese Tatsache Alias-Effekt.

Das nachfolgende Bild verdeutlicht dies anhand der Schwingungen und mit 4 Hz bzw. 14 Hz und 10 Abtastwerten an den Stellen t_k= k/10, k=0,...,9

Man muß also zur Beobachtung periodischer Vorgänge einer Frequenz f mit einer Abtastfrequenz arbeiten die größer als 2f ist.

Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)

Die Umkehrabbildung, ist durch Vorgabe eines Vektors

mit genau einem Wertevektor (y₀, y₁,..., y_N-1,) bestimmt, dessen Fourierkoeffizienten die

sind.

Die Fast Fourier Transform (FFT)

Die Geschichte schneller Algorithmen (i.e. ein spezielles Verfahren zur Durchführung numerischer Rechnungen) zur Berechnung trigonometrischer Reihen reicht zurück bis Gauß, der bereits 1805, noch vor Fouriers Arbeiten, den gleichen Ansatz benutzte wie J.W. Cooley und J.W. Tukey (1965) in ihrem berühmten Artikel "An Algorithm For The Machine Calculation Of Complex Fourier Series" in dem die Anzahl der Operationen für eine DFT der Länge N = 2ⁿ von N² auf Nlog₂(N) reduziert wird. Die Grundidee aller FFT-Algorithmen besteht darin eine DFT der Länge N für eine Faktorisierung N=n₁n₂...n_k, (n₁,n₂,...,n_k) rekursiv zu berechnen durch DFT´s der kleineren Längen n₁,n₂,...,n_k:

DFT_N = DFT_nk(DFT_nk-1(...(DFT_n1)...))

Die FFT ist also nur ein schnelleres Berechnungsverfahren der DFT und deshalb ist für die Interpretation der Ergebnisse nur Kenntnis der Eigenschaften der DFT nötig. Außerdem sind die meisten Algorithmen quasi-invers, d.h. der gleiche Algorithmus kann je nach Eingangsdaten entweder die DFT oder die IDFT berechnen. Den Geschwindigkeitszuwachs gegenüber der direkten Berechnungsmethode kann an der nebigen Grafik abgelesen werden. Hierbei gilt die Anzahl der Multiplikationen als Maß für die benötigte Rechenzeit.

Versuche zur Verdeutlichung der Ergebnisse der FFT

Bei den Nachfolgenden Versuchen wurden die analogen Eingangssignale mit der Soundkarte "Soundblaster 16" und dem Programm "Goldwave" von Creative Labs, abgetastet. Die Abtastwerte wurden nach dem wav-Format (siehe Anhang) gespeichert und das im Anhang aufgeführte FFT-Programm berechnete anhand dieser die Spektralwerte und speicherte sie ebenfalls im wav-Format. Diese konnten dann mit dem Programm "Cool Edit 96" von Syntrillium betrachtet werden.
Die nachfolgenden Funktionen wurden mit dem Frequenzgenerator LCE von Impo Electronics erstellt.

Frequenzgenerator LCE an den "Line In" der Soundkarte angeschlossen.
FKG, Würzburg, 1999

Die Sinusfunktion

Dieses Bild zeigt die Werte f(t_n) zu den äquidistanten Zeitpunkten nΔt mit Δt=1/55 ms.
Berechnet man aus diesen Werten die Spektralwerte erhält man das nachfolgende Bild.

Dieses Bild zeigt das Betragsspektrum der obigen Funktion. Man erkennt den ersten klaren Peak bei ca. 440 Hz. Der zweite Peak bei ca. 5060 Hz geht auf die Symmetrie des Spektrum für reelle Funktionen, d.h. das Betragsspektrum ist zu = 2750 Hz achsensymetrisch. Aus diesem Grund betrachten wir im folgenden die Spektren nur noch bis zu .
Die obige Funktion setzt sich also nur aus einer harmonischen Schwingung mit der Frequenz μ » 440 Hz zusammen.

Die Dreiecksfunktion
Die Abbildung zeigt wieder f(t_n) zu den Zeitpunkten nΔt diesmal mit Δt =1/11025 s
Das zugehörige Amplitudenspektrum zeigt die nächste Abbildung:

Deutlich ist der Peak der Grundschwingung zu sehen wohingegen die Peaks der Oberschwingungen merklich schwächer vertreten sind.

Betrachtet man die Teilabschnitte in denen Peaks auftreten vergrößert kann man die Frequenzen und die Peaks deutlicher erkennen:
Die Peaks liegen bei ca. 454Hz, 1362Hz, 2270Hz und 3180Hz. Die Dreiecksfunktion setzt sich anscheinend aus der Grundschwingung (hier ca. 454Hz) und aus den ungeradzahligen Oberschwingungen (hier 3*454Hz=1362Hz; 5*454Hz=2270Hz; 7*454Hz=3178Hz) zusammen. Dies äußert sich in der Verzerrung der Dreiecksfunktion gegenüber der reinen Grundschwingung.

Die Rechtecksfunktion

f(t_n) zu den Zeitpunkten nΔt mit Δt =1/11025 s

zugehöriges Amplitudenspektrum:

Vergrößerte Teilbereiche:

Die Rechtecksfunktion setzt sich, wie die Dreiecksfunktion, aus der Grundschwingung und den ungeradzahligen Frequenz-Vielfachen zusammen. Jedoch sind diese stärker als bei der Dreiecksfunktion am Aufbau beteiligt. Dies hat zur Folge, daß die Recht-ecksfunktion noch stärker als die Dreiecksfunktion gegenüber der Grundschwingung (Sinusfunktion) verzerrt ist.

Musikinstrumente

Ebenso wie man künstlich generierte Frequenzen untersucht, kann man auch die natürlichen Töne von Musikinstrumenten anhand der FFT untersuchen.

Die Orgelpfeife

Orgel in der Kirche zu St. Nikolaus
Euerhausen, 1999

Bei Orgelpfeifen entsteht der Ton durch Ausbildung stehender Wellen in der Luftsäule der Pfeife. Die folgende Abbildung zeigt die Schwingung einer offenen Pfeife.

zugehöriges Amplitudenspektrum:

Vergrößerte Teilbereiche

An der obigen Abbildung erkennt man, daß die offene Orgelpfeife einen Klang erzeugt, in dem alle harmonischen Obertöne beteiligt sind, da an beiden Enden die Luftmoleküle frei schwingen können.
Die Trompete

Schwingung:

Amplitudenspektrum:

Vergrößerte Teilbereiche:

Rechts ist das charakteristische Amplitudenspektrum einer Trompete abgebildet. Es ist für die Klangfarbe eines Instrumentes verantwortlich.

Die Analyse von Signalen ist aber nicht die einzige Anwendungsmöglichkeit der FFT. Die inverse Eigenschaft des Algorithmus erlaubt es auch Signale zu erzeugen. Bei der digitalen Filterung wird ein Signal analysiert, Frequenzanteile herausgefiltert (entsprechende Fourierkoeffizienten gleich Null gesetzt), und anschließend wieder rücktransformiert.

Aufnahme der Überlagerung von Stimmgabel und Stimme.
Gaubüttelbrunn, 1999

Die nachfolgende Aufnahme zeigt die durch die Stimme "verauschte" Sinusschwingung einer Stimmgabel:

Setzt man nach der Analyse alle Fourierkoeffizienten, bis auf die eines schmalen Frequenzbandes von 400-480 Hz, gleich Null und wendet die IDFT an, so erhält man das gefilterte Signal:

Die Störung wurde beseitigt, und die klare Sinusschwingung ist wieder zu hören.

Bei der folgenden Aufnahme verdeckt die sehr laute Stimmgabel die Stimme stark:

Setzt man jetzt die Fourierkoeffizienten des Frequenzbereichs der Stimmgabel gleich Null, so erhält man das folgende Signal:

Die Stimme ist nun klar zu verstehen, obwohl an den Rändern der Segmente mit der Länge deutliches Knacksen zu hören sind.

Schluß

Grenzen der FFT und Ausblick

Dies macht die Grenzen der FFT deutlich. Immer wenn die Signaldauer größer als die Beobachtungsdauer T ist, muß man sehr großen mathematischen Aufwand treiben um diese Effekte zu eliminieren.
Man verwendet dazu die GFT, die gefensterte Fouriertransformation. Hierbei muß aber das Zeitfenster groß genug gewählt werden, um mindestens eine Vollschwingung der gesuchten Frequenz aufnehmen zu können. Aber auch bei der GFT läßt sich der FFT Algorithmus verwenden.
Das Hauptproblem der Fouriertransformation im allgemeinen, und somit auch der FFT bleibt aber die fehlende Lokalisation auf der Zeitachse. Die Fourierkoeffizienten c_k enthalten Information über f aus dem gesamten Definitionsbereich, und so kann man ihnen nicht ansehen wo Sprungstellen oder ausgeprägte Spitzen liegen. Dies ist meistens in der Signalverarbeitung und der Bildbearbeitung von Interesse. Dieses Problem beseitigt die Wavelet-Theorie, eine Weiterentwicklung der Fourieranalysis. Trotz alledem bleibt die Fourieranalysis und –synthese, vorallem in ihrer mehrdimensionalen, und komplexen Form eine der wichtigsten Hilfsmittel, der Naturwissenschaftlichen Disziplinen.

Anhang

Wave-Files

Die bei den Experimenten benutzten Microsoft Wav-Files basieren auf dem RIFF-Format. Diese bestehen aus den "chunks".

Ein Wave-File hat demnach folgenden Aufbau:

RIFF-CHUNK: 12 Bytes

4 Bytes CHUNK-Name: "RIFF"
4 Bytes CHUNK-Länge
4 Bytes RIFF-Typ: "WAVE"

Format-CHUNK: 24 Bytes

4 Bytes CHUNK-Name: "FMT"
4 Bytes CHUNK-Länge
2 Bytes Format Typ: 0=mono; 1=stereo
2 Bytes Kanalzahl
4 Bytes Sample-Rate(Hz)
4 Bytes Byte pro Sekunde
2 Bytes Byte pro Sample: 1=8 Bit mono; 2=8 Bit stereo / 16 Bit mono 3=16 Bit stereo
2 Bytes Bits pro Sample

Data-CHUNK: 8+n Bytes

4 Bytes CHUNK-Name: "data"
4 Bytes CHUNK-Länge
n Datenbereich

FFT-Programm

Das folgende Programm wurde zur Berechnung der Spektren und der Filterung benutzt und mit Turbo Pascal 7.0 erstellt.
(Der Sourcecode wurde in der WWW-Fassung entfernt. Das Programm liegt sowohl im Quellcode als auch als ausführbares DOS-Programm hier zum Download bereit.)

Literaturverzeichnis

Liste

[1]: Brigola R., Fourieranalysis, Distributionen, und andere Anwendungen,Braunschweig/Wiesbaden, Verlag Vieweg, 1997
[2]: Brigham E. O., FFT, schnelle Fourier-Transformation, München, Verlag Oldenbourg, 1982
[3]: Borucki H., Einführung in die Akustik, Zürich, Bibliographisches Institut, 1973
[4]: Linnemann P., Die Darstellung beliebiger Funktionen durch eine Fourierreihe unter Einsatz eines Mikrocomputers, in: Praxis der Naturwissenschaften Physik, 1987,Nr. 8, S.2
[5]: Blatter C., Wavelets - Eine Einführung, Braunschweig/Wiesbaden,Verlag Vieweg, 1998

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Das Gymnasium: Friedrich-Koenig-Gymnasium, Würzburg	Zurück: Physikseite